Teorema fundamental de la hidrostática

La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en equilibrio es igual al peso específico de ese líquido por la altura entre ambos puntos.


P_B – P_A = ρ h


P_A, P_B = Presiones en los puntos A y B
ρ = Peso específico del líquido
h = Altura

Densidad y peso específico

Densidad de un líquido

La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen. Se denomina con la letra ρ. En el sistema internacional se mide en kilogramos / metro cúbico.

Peso específico de un líquido

El peso específico de un fluido se calcula como su peso sobre una unidad de volumen (o su densidad por g) . En el sistema internacional se mide en Newton / metro cúbico.

Presión

La presión se define como fuerza sobre unidad se superficie.





F = Fuerza
S = Superficie
P = Presión

Unidad de Presión

En el sistema internacional la unidad es el Pascal y equivale a Newton sobre metro cuadrado.

Frecuencia y período

Frecuencia

La frecuencia mide la cantidad de vueltas que se dan en un período de tiempo (normalmente un segundo). La unidad más común es el Hertz. Un Hertz equivale a una vuelta en un segundo (1 / s).

Período

El período mide el tiempo que se tarde en dar una vuelta completa y se mide en segundos. Es la inversa de la frecuencia.



De la misma forma la frecuencia se puede calcular como la inversa del período.

Aceleración centrípeta en MCU

En MCU, la velocidad tangencial es constante en módulo durante todo el movimiento. Sin embargo, es un vector que constantemente varía de dirección (siempre sobre una recta tangente a la circunferencia en el punto en donde se encuentre el móvil). Para producir la modificación de una velocidad aparece una aceleración, pero debido a que no varía el módulo de la velocidad, el vector de esta aceleración es perpendicular al vector de la velocidad.




La aceleración centrípeta se calcula como la velocidad tangencial al cuadrado sobre el radio o cómo la velocidad angular por la velocidad tangencial:

Posición respecto del tiempo en MCU

En mcu podemos conocer en que posición se encuentra el móvil luego de un tiempo, calculando el ángulo que giró en ese intervalo. Una vez que tenemos el ángulo restamos un número entero k (número de vueltas) multiplicado por 2 π (ángulo de una vuelta) y obtenemos el ángulo en radianes en el que se encuentra el móvil.

La ecuación para determinar la posición respecto del tiempo, utilizando la velocidad angular, es similar a la de mru, pero en vez de distancias utilizamos los ángulos.

Velocidad tangencial en MCU

La velocidad tangencial es la velocidad del móvil (distancia que recorre en el tiempo). Por lo tanto para distintos radios y a la misma velocidad angular, el móvil se desplaza a distintas velocidades tangenciales. A mayor radio y a la misma cantidad de vueltas por segundo, el móvil recorre una trayectoria mayor, porque el perímetro de esa circunferencia es mayor y por lo tanto la velocidad tangencial también es mayor. La velocidad tangencial se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km / h], etc. Se calcula como la distancia recorrida en un período de tiempo.




Por ejemplo si se recorre todo el perímetro de una circunferencia de radio 5 metros en 1 segundo, la velocidad tangencial es:

Ecuación de la velocidad tangencial

La ecuación que se utiliza para calcular la velocidad tangencial se expresa como la velocidad angular por el radio.



Para el ejemplo anterior la calculamos como:



En MCU la velocidad tangencial es constante (en módulo) para un mismo punto. A mayor distancia del eje, la velocidad tangencial aumenta. Su dirección varía continuamente, teniendo siempre la misma dirección que la recta tangente al punto en donde se encuentre el móvil.

Velocidad angular en movimiento circular uniforme

La velocidad angular es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se mide en radianes / segundos.
(2 π [radianes] = 360°)




Por lo tanto si el ángulo es de 360 grados (una vuelta) y se realiza por ejemplo en un segundo, la velocidad angular es: 2 π [rad / s].

Si se dan dos vueltas en 1 segundo la velocidad angular es 4 π [rad / s].

Si se da media vuelta en 2 segundos es 1/2 π [rad / s].

La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.



Considerando que la frecuencia es la cantidad de vueltas sobre el tiempo, la velocidad angular también se puede expresar como:



En MCU la velocidad angular es constante.

Movimiento circular uniforme

El Movimiento Circular Uniforme es aquel en el que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una velocidad constante. Se consideran dos velocidades, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo e

Tiro oblicuo

Muchas veces la trayectoria de un móvil no es en línea recta. Vamos a analizar especialmente aquellos casos en donde actúa la aceleración de la gravedad. Para resolver este tipo de ejercicios se suele descomponer el movimiento y la velocidad en ejes X e Y, para calcular los movimientos por separado. En los ejemplos siguientes, sobre el eje vertical (Y) tenemos un MRUV con la aceleración de la gravedad y sobre el horizontal un MRU con la velocidad calculada Vx.

Por lo tanto para resolver ejercicios de tiro oblicuo primero descomponemos la velocidad inicial en X e Y (con las funciones coseno y seno).

Ejemplos

1) Lanzamiento de una bala de cañón. Descomponemos las velocidades. Si debido al ángulo tenemos una Vy, sobre el eje Y habrá primero un movimiento similar a un tiro vertical (con velocidad inicial Vy) y luego una caída libre (Con velocidad inicial 0). Todo esto mientras en X hay un MRU (con Vx).




En este caso la velocidad en X es constante:



La velocidad en Y varía con la aceleración de la gravedad. En este ejemplo primero va disminuyendo hasta hacerse cero (como un tiro vertical) y luego comienza a aumentar en sentido contrario (como una caída libre).




Si por ejemplo se tratase de un tiro horizontal (paralelo a X) no hay Vy, por lo tanto, sobre el eje Y tenemos únicamente una caída libre desde la altura del tiro hasta el piso.




Al igual que en el caso anterior, la velocidad en X es constante.



El gráfico de la velocidad en Y es similar al de una caída libre.

Tiro vertical y caída libre

Estos movimientos se resuelven con las mismas ecuaciones de MRUV, tomando como aceleración la de la gravedad de la tierra, que en vez de "a" la llamamos "g". También es un valor vectorial y su módulo es:



Su signo depende de como ubiquemos el sistema de referencia. Si el sistema lo ponemos creciente desde la tierra hacia arriba entonces g tiene signo negativo.

Debido a que trabajamos con sistemas coordenados, utilizamos la misma fórmula para el tiro vertical que para la caída libre (que además son las mismas formulas que utilizamos para todo MRUV). Tomamos positiva la aceleración cuando la velocidad aumenta en el sentido que crece el sistema de referencia y negativa en el otro caso.

Tiro Vertical

El tiro vertical corresponde al movimiento en el cual se lanza un objeto en línea recta hacia arriba con una velocidad inicial.

Caída Libre

La caída libre corresponde al movimiento en dónde se deja caer un objeto desde arriba. El siguiente gráfico corresponde a la velocidad durante la caída libre, poniendo un sistema de coordenadas con el origen en el piso y dirigido hacia arriba, es decir la velocidad tiene signo negativo.

Con esta disposición, la aceleración también tiene signo negativo. En el gráfico consideramos velocidad inicial nula. Si realizamos un ejercicio completo de tiro vertical y caída libre, hay que tener en cuenta que en el tiro vertical sí tenemos velocidad inicial, pero la caída libre es otro movimiento que comienza justamente cuando esa velocidad es cero. De todas formas la caída libre también puede tener velocidad inicial en otros casos.

Características del tiro vertical y la caída libre

En ambos casos se toman en cuenta las velocidades iniciales y las distancias, pero no intervienen el peso o la masa para calcular la altura o el tiempo.

Debería importar la forma de los objetos con el fin de calcular el rozamiento con el aire (que ejerce una fuerza), pero no lo consideramos en estos ejercicios.

Para el tiro vertical, si utilizamos un sistema de referencia dirigido hacia arriba, la aceleración tiene signo negativo y velocidad inicial positiva. En la caída libre, con el mismo sistema de referencia, la velocidad es negativa (en aumento) y la aceleración no cambia de signo (con ese sistema seguiría siendo negativa).

Encuentro en MRUV

El encuentro en MRUV se resuelve de manera similar que en MRU, es decir igualando las posiciones de las ecuaciones horarias. Incluso podemos plantear encuentro entre un móvil con MRU y otro con MRUV utilizando la respectiva ecuación horaria de cada uno.

Dado que hay valores elevados al cuadrado es posible tener en algunos casos tener dos tiempos de encuentro distintos e incluso uno positivo y otro negativo.

Algunos ejemplos

Por ejemplo se podría dar el caso de que en un punto, un móvil que se mueve a velocidad constante pase a otro que se mueve en el mismo sentido a menor velocidad pero acelerando (que recién comience a moverse). Luego el segundo móvil aumentará su velocidad y lo volverá a pasar al primero, es decir hay 2 encuentros.

Otro caso podría ser el de dos móviles moviéndose en sentido contrario y desacelerando. Se cruzan una vez, luego siguen disminuyendo la velocidad hasta que se hace cero y luego comienzan a moverse en sentido contrario debido a que mantienen su misma aceleración

Posición respecto del tiempo en MRU

Posición respecto del tiempo en MRUV

La ecuación horaria de MRUV es:



Esta ecuación también sirve para movimiento rectilíneo uniforme, ya que en ese caso la aceleración es cero y reemplazando "a" por 0 queda la misma ecuación que conocemos del MRU.

Los siguientes gráficos de posición respecto del tiempo corresponden en el primer caso a un móvil que aumenta el módulo de su velocidad y en el segundo caso que lo disminuye.

Relación entre la posición y el espacio recorrido

Existe una ecuación (derivada de las demás) que relaciona las velocidades inicial y final con el espacio recorrido y la aceleración (sin tener que conocer el tiempo).

Velocidad en MRUV

La velocidad en función del tiempo se calcula desde la formula de aceleración:




Es decir se multiplica la aceleración (cuánto varía la velocidad por cada unidad de tiempo) por el tiempo durante el cual está variando y se le suma la velocidad que tenía inicialmente.

Gráficos de ejemplo

1) Sin velocidad inicial, con velocidad en aumento.




2) Con velocidad inicial, con velocidad en aumento.




3) Con velocidad inicial, con velocidad en descenso.



4) Con velocidad inicial, con velocidad en descenso. Al detenerse, comenzando a aumentar su velocidad en sentido contrario.

Aceleración en MRUV

El MRUV es un movimiento en el cual un móvil se desplaza en línea recta a una velocidad que varía de manera uniforme a lo largo del tiempo. Esta velocidad puede aumentar (y en ese caso el movimiento es acelerado) o disminuir (desacelerado). Al variar la velocidad en el tiempo, en tiempos iguales recorre distancias distintas. La aceleración tiene un valor distinto de cero (positivo o negativo). El espacio varía con el cuadrado del tiempo.

La tasa de variación de la velocidad se denomina aceleración. Su valor puede ser positivo o negativo. La aceleración es una magnitud vectorial con lo cual, además de un módulo, tenemos una dirección y un sentido.

Un signo negativo en la aceleración no necesariamente significa que la velocidad esté disminuyendo en valor absoluto. Puede estar aumentando en el sentido contrario al positivo del sistema de referencia fijado.

Si la velocidad viene disminuyendo y se hace cero sin que cambie la aceleración, el móvil se detendrá y comenzará a moverse en sentido contrario, esta vez aumentando su velocidad en valor absoluto. El vector que sí cambia de signo es el de la velocidad cuando comienza a moverse para el otro lado, pero la aceleración en este caso será la misma.

Signo de la aceleración

Si el móvil tiene velocidad de signo positivo y aumentando, la aceleración es positiva.

Si el móvil tiene velocidad de signo positivo y disminuyendo, la aceleración es negativa. Es decir que disminuye la velocidad hasta que se haga cero. Luego, con esta misma aceleración negativa, el móvil comenzará aumentar de velocidad (en módulo) pero con signo negativo.

Si el móvil tiene velocidad negativa y aumentando, la aceleración es negativa. La velocidad aumenta pero con en el signo contrario al sistema. Si el móvil se estaba moviendo antes de comenzar a contar el tiempo, en algún momento la velocidad podría haber sido cero (antes de ser negativa) y antes de eso positiva en disminución.

Si el móvil tiene velocidad negativa y disminuyendo, la aceleración es positiva. El móvil en algún momento se detendrá y comenzará a aumentar la velocidad en el sentido positivo (primer caso).

Valor de la aceleración

El valor de la aceleración se calcula como la variación de la velocidad en un tiempo determinado.



La aceleración se mide en metros sobre segundos al cuadrado.

Gráficos de ejemplo

Gráfico de la aceleración respecto del tiempo en el movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Encuentro en movimiento rectilíneo uniforme

Los ejercicios de encuentro se utilizan para determinar en que momento o en que posición se encontrarán dos móviles. Los mismos se encuentran en el lugar donde su posición dentro del sistema de coordenadas sea la misma (donde tengan la misma X). Por lo tanto para resolverlos planteamos dos ecuaciones horarias distintas (una para cada móvil) y las igualamos.

En el gráfico de posición respecto del tiempo tenemos líneas que se cruzan en la posición de encuentro. Sobre el eje X tenemos el tiempo de encuentro y sobre el eje Y la posición respecto del origen.

Gráficos de Ejemplo

1) En el siguiente ejemplo un móvil sale con velocidad inicial constante y positiva desde el origen y en el mismo momento otro sale desde una determinada X positiva hacia el origen (es decir con velocidad de signo negativo).



2) En el siguiente ejemplo dos móviles salen con velocidad positiva y del mismo módulo, desde distintas posiciones. No se encuentran.



3) En el siguiente ejemplo un móvil sale con velocidad de signo negativo (yendo hacia el cero). Al pasar por el origen otro móvil que se encontraba detenido en una posición negativa empieza a avanzar también en el mismo sentido que el primero, pero a menor velocidad (notar la menor pendiente). Se encuentran en el tiempo te y la posición Xe (que es negativa).

Posición respecto del tiempo en MRU

La fórmula con la que se calcula el lugar en dónde se encuentra un móvil suele llamarse ecuación horaria. Determina la posición en función de su velocidad (que es constante), del tiempo y de su su posición inicial.




X₀: Posición inicial (dónde se encuentra el móvil en tiempo 0).

V₀: Velocidad inicial. En MRU deberíamos llamarla V ya que es constante, pero para hacer las ecuaciones de MRU y MRUV lo más parecidas posibles utilizamos V₀ (velocidad inicial) que también es correcto ya que la velocidad inicial es la misma en todo el recorrido. [m/s]

t: Tiempo [s]

X_(t): Posición que obtenemos como resultado en función del tiempo.


Si el origen de coordenadas coincide con el lugar desde donde parte el móvil entonces la posición inicial es 0, por lo tanto la distancia recorrida es la velocidad por el tiempo.

Gráficos de ejemplo

1) Ejemplo de posiciones respecto del tiempo para dos velocidades distintas. Para cada velocidad, a igual tiempo recorre el mismo espacio.





2) Móvil con velocidad negativa antes de tiempo cero, que pasa por el origen en t = 0 y continúa moviéndose con la misma velocidad negativa. Lo que decimos con velocidad negativa es que el móvil se dirige en sentido contrario hacia como planteamos el sistema.




En los gráficos de posición respecto del tiempo en MRU, siempre obtenemos rectas (de mayor o menor pendiente de acuerdo a la velocidad, incluso de pendiente cero si está detenido).

Aceleración en movimiento rectilíneo uniforme

La aceleración mide la variación de la velocidad respecto del tiempo. En MRU es cero ya que la velocidad es constante, es decir que la velocidad inicial es igual a la velocidad final (no hay aceleración).

Gráfico de la aceleración

Gráfico de la aceleración respecto del tiempo en movimiento rectilíneo uniforme:

Velocidad en movimiento rectilíneo uniforme

La velocidad es una magnitud vectorial que mide con que rapidez varía la posición de un móvil en el tiempo. En MRU es constante y su signo depende del sentido hacia dónde se mueva el móvil respecto a como definimos el sistema de referencia.

En el siguiente diagrama los móviles 1 y 2 tienen velocidad positiva (se dirigen en sentido positivo, independientemente de su posición) mientras que la velocidad de 3 es de signo negativo.




La velocidad la calculamos como la variación de la posición sobre la variación del tiempo. Para calcular el módulo de la velocidad:




Como generalmente contamos el tiempo desde cero (es decir cuanto se tarda desde que empezamos a medir) muchas veces escribimos a la velocidad como:



O bien si no utilizamos una referencia y sabemos cuanto espacio se recorrió y en que tiempo la escribimos como:




El módulo de la velocidad se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km/h]. Para la resolución de ejercicios de manera simple, es recomendable pasar todo a [m/s] y utilizar notación exponencial si fuesen números muy grandes o muy chicos.

Ejemplos

1) Si un móvil se encuentra en la posición X = 30 metros en el momento en que empezamos a contar el tiempo y 10 segundos después se encuentra en la posición X = 60 metros, entonces sabemos que su velocidad es de 3 [m/s] (*) y su gráfico es:






(*) En realidad podríamos decir que la velocidad siempre es positiva dado que avanza una cierta distancia por cada unidad de tiempo, pero dado un determinado sistema de referencia, si el móvil se desplaza para el lado negativo decimos que tiene velocidad negativa.

2) Si un móvil se encuentra en la posición X = 30 metros en el instante 0 y 5 segundos después se encuentra en la posición X = 10 metros (es decir se acercó al origen) su velocidad es de -4 [m/s] y su gráfico es:







Debido a que estos gráficos son de la velocidad, no tomamos en cuenta la posición del móvil. El gráfico de la velocidad es independiente del lugar en dónde se encuentre. No importa si está del lado positivo o negativo, si sale o no desde origen, etc. Lo que sí nos importa es hacia dónde se mueve debido a que determina el signo de la velocidad.